Historia del Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anetriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los triángulos citados , tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamenre su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al área de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Demostración del Teorema por Paenza

Demostraciones Geométricas

PLATÓN

La relación que expresa este teorema es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

Euclides

EUCLIDES

El eje de su demostración es la proposición 1.47 de Los Elementos: si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es el doble de la del triángulo.

Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C. Construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:

* triángulos ACK y ABD

* triángulos ABG y CBI

Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHKJ, los cuales tienen la misma base, AK. Por lo tanto, de acuerdo con la proposición 1.47 AHKJ tiene doble área que ACK.

Las paralelas m y n contienen ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble que ABD.

Pero siendo ACK = ABD resulta que el rectángulo AHKJ y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes.

Con el mismo razonamiento, los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que tienen áreas igualmente congruentes. Entonces la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Bhaskara

BHASKARA (matemático y astrónomo hindú del siglo XII)

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a,b y c se construye el cuadrado de lado c en cuyo centro se forma otro de lados (a - b). Redistribuyéndolos, se construye la figura cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a (azul) y otro de lado b (naranja).

Se ha demostrado gráficamente que: a^2+b^2=c^2.

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a - b), es decir:

c^2 = 4 . ab /2 + (a-b)^2

Expresión que desarrollada y simplificada demuestra el teorema.

Leonardo Da Vinci

LEONARDO DA VINCI (Renacimiento)

Partiendo del triángulo ABC, con los cuadrados de catetos e hipotenusa, añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

* Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.

* Polígonos ACBHIJ: la línes CI determina CBHI y CIJA.

Comparando los polígonos grises: ADGB y CIJA:

* Tienen tres lados iguales: AD = AC, AB = AJ, BC=BG=IJ

* Son iguales los ángulos de los siguientes vértices: A de ADGB y CIJA, y B de ADGB y J de CIJA. Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo, ADGB = CBHI.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB Y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Si a cada uno se le quitan los dos triángulos iguales las superficies que restan serán forzosamente iguales. Y esas superficies son los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACDHIJ, por la otra. El teorema queda demostrado.

Garfield

GARFIELD (1831 - 1881 vigésimo Presidente de los E.E.U.U)

Construye un trapecio de bases a y b, y altura (a + b), a partir del triángulo rectángulos de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado y un tercero isósceles de catetos c. En consecuencia:

Sup trapecio= (a+b)/2 . (a+b)

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

S= 2 . ab/2 + c^2/2

igualando:

(a+b)/2 . (a+b) = ab/2 + c^2/2

lo que finalmente nos da c^2 = a^2 + b^2, y el teorema queda demostrado.

Teorema del Seno

En trigonometría, este teorema es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Demostración del Teorema del Seno

Teorema del Coseno

Este teorema es una generalización del Teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos, que se utiliza normalmente en trigonometría.

Dicho teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

Demostración del Teorema del Coseno