Euclides

EUCLIDES

El eje de su demostración es la proposición 1.47 de Los Elementos: si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es el doble de la del triángulo.

Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C. Construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:

* triángulos ACK y ABD

* triángulos ABG y CBI

Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHKJ, los cuales tienen la misma base, AK. Por lo tanto, de acuerdo con la proposición 1.47 AHKJ tiene doble área que ACK.

Las paralelas m y n contienen ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble que ABD.

Pero siendo ACK = ABD resulta que el rectángulo AHKJ y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes.

Con el mismo razonamiento, los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que tienen áreas igualmente congruentes. Entonces la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.